spfa算法

spfa算是是使用队列去优化bellman的一种算法吧。

求单源最短路的SPFA算法的全称是:Shortest Path Faster Algorithm,是西南交通大学段凡丁于1994年发表的。从名字我们就可以看出,这种算法在效率上一定有过人之处。很多时候,给定的图存在负权边,这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地,而Bellman-Ford算法的复杂度又过高,SPFA算法便派上用场了。简洁起见,我们约定加权有向图G不存在负权回路,即最短路径一定存在。如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环(SPFA无法处理带负环的图)。当然,我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序,以判断是否存在负权回路,但这不是我们讨论的重点。我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值,而且用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法:设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点,优化时每次取出队首结点u,并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作,如果v点的最短路径估计值有所调整,且v点不在当前的队列中,就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作,直至队列空为止。定理: 只要最短路径存在,上述SPFA算法必定能求出最小值。

算法简介

  • 建立一个带权值的邻接矩阵,然后定义dis[N]表示源点到其他点的距离,然后将源点入队。
  • 当队列不空时:取出队列中第一个元素,遍历它的出度edge,如果以该有向边edge为中间边到达某个节点的距离小于原本的距离(dis[x] + edge < dis[y]),则将这个点y入队,同时进行松弛操作。
  • 当一个点入队超过n次时,表明他经过了n次松弛操作。说明存在负环。

代码示例

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struct Edge{
int wi; //权值
int to; //边终点
};
int V_NUM; //节点数
int E_NUM; //边数
vector <Edge> v[M]; //邻接表式
int dis[M]; //到i点的距离
int times[M]; //i点入队的次数
int is_push[M]; //i点是否入队

bool spfa(int st){
int i;
queue <int> qu;
for (int i = 0; i < V_NUM; ++i){
if(i==st)dis[i] = 0;
else dis[i] = VMAX;
times[i] = 0;
is_push[i] = 0;
}
qu.push(st);
times[st] = 1;
is_push[st] = 1;
while(!qu.empty()){
int temp_v = qu.front();
int n_vi = (int)v[temp_v].size(); //该点的出度
for(i=0;i<n_vi;i++){
Edge *e = &v[temp_v][i]; //取出一条边
if(dis[e->to]>(dis[temp_v]+e->wi)){ //满足松弛条件
dis[e->to] = dis[temp_v]+e->wi;
qu.push(e->to);
times[e->to]++;
is_push[e->to] = 1;
if(times[e->to]>V_NUM){ //入队次数爆表,存在负环
while(!qu.empty())qu.pop();
return 0;
}
}
}
qu.pop();
is_push[temp_v] = 0;
}
return 1;
}

再次补充

虽然介绍越来越短了,但是相信大家,看到代码后还是可以自己看懂的哈。